Trigonometría y geometría del taller

3 de noviembre de 2026  ·  Indumor

Una escalera apoyada en la pared del galpón es un triángulo rectángulo con todas las letras: el piso es un cateto, la pared el otro y la escalera la hipotenusa. Si mide 4 m y la apoyás a 1,5 m de la pared, llega a 3,71 m de alto y forma 68° con el piso. Son las mismas cuentas de un chaflán, de una brida o del redondo que lleva un hexágono, y acá van juntas con las tablas que las acortan y tres calculadoras.

El triángulo rectángulo

Las letras no cambian: a y b son los catetos, c la hipotenusa, α el ángulo opuesto al cateto a y β el opuesto a b. Los dos ángulos agudos suman 90°. Pitágoras relaciona los tres lados; el seno, el coseno y la tangente, un ángulo con dos lados. Con dos datos salen los otros tres; la tabla dice qué fórmula usar.

Para no confundir la razón: el seno y la tangente crecen con el ángulo, el coseno baja. El contrapunto corrido y el ángulo del charriot para tornear un cono son este mismo triángulo con otros nombres, y están en el capítulo 11.

Senos, cosenos y tangentes de 0° a 90°

La tabla va de grado en grado. Para un ángulo con minutos se interpola entre dos filas: el seno de 12° 30′ está a mitad de camino entre sen 12° (0,2079) y sen 13° (0,2250), o sea 0,2164, que es el valor exacto a cuatro cifras.

Cuando el triángulo no es rectángulo (un tensor que no cae a escuadra) sirven la ley de senos y la de cosenos, con los lados a, b y c opuestos a los ángulos α, β y γ:

Cuerda, flecha y radio: lo que se mide para un rolado

Cuando llega un caño o una chapa curvada para copiar, el radio no se puede medir: el centro está en el aire. Lo que se mide es la cuerda c, con una regla apoyada en dos puntos del arco, y la flecha h, la distancia de la regla al arco en el medio. Con esas dos salen el radio, el ángulo y el largo desarrollado: lo que se anota para pedir un rolado.

Agujeros en círculo

Las bridas, las tapas y las placas de acople llevan los agujeros repartidos en un círculo de centros de diámetro D. Con visualizador o CNC hacen falta las coordenadas de cada agujero respecto del centro: el ángulo del agujero i es θ₀ + i · 360°/n, y el punto sale con un coseno y un seno. Para marcar a mano se usa la cuerda entre agujeros vecinos, D por la constante k de la tabla, y se la pasa con el compás de punta.

Un detalle que cuesta piezas: el primer agujero puede ir a 0°, sobre el eje x, o a 90°, arriba. En una brida de cuatro agujeros es la diferencia entre montarla "en cruz" o "en equis", y las dos son habituales. Para seis agujeros en D = 180 mm con el primero a 90°, la cuerda es 180 × 0,5 = 90 mm y las coordenadas son (0; 90), (−77,942; 45), (−77,942; −45), (0; −90), (77,942; −45) y (77,942; 45). En la fresadora el mismo reparto sale del plato divisor (capítulo 12).

Polígonos: el hexágono y el cuadrado de un redondo

La pregunta del fresador es siempre la misma: qué redondo lleva un hexágono de 24 entre caras o un cuadrado de 20 de lado. La diagonal del hexágono, de vértice a vértice, es 1,1547 veces la medida entre caras; la del cuadrado es 1,4142 veces el lado. El redondo tiene que ser por lo menos esa diagonal, y algo más para que las aristas no queden con "luna": 27,7 mm para el hexágono de 24 (se parte de 28 o de 30) y 28,3 mm para el cuadrado de 20 (redondo de 30).

Para cualquier otro polígono regular está la tabla general, con un factor por columna. El ángulo interior sirve para el plegado: las caras de un octógono se doblan a 180° − 135° = 45°.

Lado = D × (columna 4). Diámetro de vértice a vértice = medida entre caras × (columna 5). Área = lado² × (columna 6).

La regla de senos

La regla de senos es una barra rectificada con dos rodillos iguales a una distancia exacta entre centros, 100 o 200 mm (5 o 10 pulgadas). Con un rodillo sobre el mármol y el otro sobre una pila de bloques patrón de altura h, forma con el mármol un ángulo α tal que sen α = h/L. Para fijar un ángulo se arma la pila con la altura de la tabla; para medirlo se corrigen los bloques hasta que el comparador no se mueva. Por encima de 45° conviene medir el complemento, porque la regla queda empinada y el error crece.

Los planos dan los ángulos en grados, minutos y segundos, y la tabla pide grados decimales: 12° 30′ son 12,5°, y 7° 15′ 36″ son 7 + 15/60 + 36/3600 = 7,26°. Al revés, 0,26° por 60 son 15,6′, y la fracción de minuto por 60 otra vez, 36″. Para 12° 30′ con la regla de 100 mm hacen falta 100 × 0,2164 = 21,644 mm de bloques; con la de 5″, 1,0822″.

Áreas y volúmenes

Las fórmulas de siempre, para calcular una pieza, un depósito o un desarrollo de chapa antes de pesarlos con las densidades del capítulo 22. Ojo con las unidades: un área en mm² se divide por 100 para tenerla en cm², y un volumen en mm³ por 1000 para tenerlo en cm³.

El segmento circular dice cuánto líquido queda en un tanque horizontal a media carga: con el radio y la altura del líquido sale el área mojada y, multiplicada por el largo, el volumen.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el radio de un arco con la cuerda y la flecha?

R = c² / (8·h) + h / 2. Con una cuerda de 1200 mm y una flecha de 95 mm, el radio es 1942 mm. La calculadora del capítulo da también el ángulo y el largo del arco.

¿Qué redondo necesito para fresar un hexágono?

La diagonal del hexágono es 1,1547 veces la medida entre caras: para 24 mm entre caras hacen falta 27,7 mm, o sea redondo de 28 o de 30. Para un cuadrado, 1,4142 veces el lado.

¿Cómo saco las coordenadas de los agujeros de una brida?

Con R = D/2 y el ángulo de cada agujero θ = θ₀ + i·360°/n: x = R·cos θ, y = R·sen θ. Para marcar a mano, la cuerda entre agujeros vecinos es D por la constante k de la tabla (0,5 para seis agujeros).

Fuentes: ISO 80000-2:2019 (signos y símbolos matemáticos); ISO 80000-3:2019 (ángulo plano, radián y grado); Machinery's Handbook, Industrial Press (tablas de coordenadas de agujeros, polígonos regulares y constantes de la regla de senos); geometría elemental (teorema de Pitágoras, leyes de senos y cosenos). Todas las tablas numéricas de este capítulo se calculan con esas fórmulas.